3.2264 \(\int (a+b \sqrt{x})^p x^3 \, dx\)

Optimal. Leaf size=204 \[ -\frac{2 a^7 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{p+1}}{b^8 (p+1)}+\frac{14 a^6 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{p+2}}{b^8 (p+2)}-\frac{42 a^5 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{p+3}}{b^8 (p+3)}+\frac{70 a^4 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{p+4}}{b^8 (p+4)}-\frac{70 a^3 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{p+5}}{b^8 (p+5)}+\frac{42 a^2 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{p+6}}{b^8 (p+6)}-\frac{14 a \left (a+b \sqrt{x}\right )^{p+7}}{b^8 (p+7)}+\frac{2 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{p+8}}{b^8 (p+8)} \]

[Out]

(-2*a^7*(a + b*Sqrt[x])^(1 + p))/(b^8*(1 + p)) + (14*a^6*(a + b*Sqrt[x])^(2 + p))/(b^8*(2 + p)) - (42*a^5*(a +
b*Sqrt[x])^(3 + p))/(b^8*(3 + p)) + (70*a^4*(a + b*Sqrt[x])^(4 + p))/(b^8*(4 + p)) - (70*a^3*(a + b*Sqrt[x])^
(5 + p))/(b^8*(5 + p)) + (42*a^2*(a + b*Sqrt[x])^(6 + p))/(b^8*(6 + p)) - (14*a*(a + b*Sqrt[x])^(7 + p))/(b^8*
(7 + p)) + (2*(a + b*Sqrt[x])^(8 + p))/(b^8*(8 + p))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.117816, antiderivative size = 204, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 3, number of rules used = 2, integrand size = 15, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.133, Rules used = {266, 43} \[ -\frac{2 a^7 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{p+1}}{b^8 (p+1)}+\frac{14 a^6 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{p+2}}{b^8 (p+2)}-\frac{42 a^5 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{p+3}}{b^8 (p+3)}+\frac{70 a^4 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{p+4}}{b^8 (p+4)}-\frac{70 a^3 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{p+5}}{b^8 (p+5)}+\frac{42 a^2 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{p+6}}{b^8 (p+6)}-\frac{14 a \left (a+b \sqrt{x}\right )^{p+7}}{b^8 (p+7)}+\frac{2 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{p+8}}{b^8 (p+8)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(a + b*Sqrt[x])^p*x^3,x]

[Out]

(-2*a^7*(a + b*Sqrt[x])^(1 + p))/(b^8*(1 + p)) + (14*a^6*(a + b*Sqrt[x])^(2 + p))/(b^8*(2 + p)) - (42*a^5*(a +
b*Sqrt[x])^(3 + p))/(b^8*(3 + p)) + (70*a^4*(a + b*Sqrt[x])^(4 + p))/(b^8*(4 + p)) - (70*a^3*(a + b*Sqrt[x])^
(5 + p))/(b^8*(5 + p)) + (42*a^2*(a + b*Sqrt[x])^(6 + p))/(b^8*(6 + p)) - (14*a*(a + b*Sqrt[x])^(7 + p))/(b^8*
(7 + p)) + (2*(a + b*Sqrt[x])^(8 + p))/(b^8*(8 + p))

Rule 266

Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Dist[1/n, Subst[Int[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(a
+ b*x)^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, m, n, p}, x] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

Rule 43

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)^m*(c + d
*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (EqQ[c, 0]
&& LeQ[7*m + 4*n + 4, 0]) || LtQ[9*m + 5*(n + 1), 0] || GtQ[m + n + 2, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \left (a+b \sqrt{x}\right )^p x^3 \, dx &=2 \operatorname{Subst}\left (\int x^7 (a+b x)^p \, dx,x,\sqrt{x}\right )\\ &=2 \operatorname{Subst}\left (\int \left (-\frac{a^7 (a+b x)^p}{b^7}+\frac{7 a^6 (a+b x)^{1+p}}{b^7}-\frac{21 a^5 (a+b x)^{2+p}}{b^7}+\frac{35 a^4 (a+b x)^{3+p}}{b^7}-\frac{35 a^3 (a+b x)^{4+p}}{b^7}+\frac{21 a^2 (a+b x)^{5+p}}{b^7}-\frac{7 a (a+b x)^{6+p}}{b^7}+\frac{(a+b x)^{7+p}}{b^7}\right ) \, dx,x,\sqrt{x}\right )\\ &=-\frac{2 a^7 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{1+p}}{b^8 (1+p)}+\frac{14 a^6 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{2+p}}{b^8 (2+p)}-\frac{42 a^5 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{3+p}}{b^8 (3+p)}+\frac{70 a^4 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{4+p}}{b^8 (4+p)}-\frac{70 a^3 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{5+p}}{b^8 (5+p)}+\frac{42 a^2 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{6+p}}{b^8 (6+p)}-\frac{14 a \left (a+b \sqrt{x}\right )^{7+p}}{b^8 (7+p)}+\frac{2 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{8+p}}{b^8 (8+p)}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.152798, size = 168, normalized size = 0.82 \[ \frac{2 \left (\frac{7 a^6 \left (a+b \sqrt{x}\right )}{p+2}-\frac{21 a^5 \left (a+b \sqrt{x}\right )^2}{p+3}+\frac{35 a^4 \left (a+b \sqrt{x}\right )^3}{p+4}-\frac{35 a^3 \left (a+b \sqrt{x}\right )^4}{p+5}+\frac{21 a^2 \left (a+b \sqrt{x}\right )^5}{p+6}-\frac{a^7}{p+1}-\frac{7 a \left (a+b \sqrt{x}\right )^6}{p+7}+\frac{\left (a+b \sqrt{x}\right )^7}{p+8}\right ) \left (a+b \sqrt{x}\right )^{p+1}}{b^8} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(a + b*Sqrt[x])^p*x^3,x]

[Out]

(2*(-(a^7/(1 + p)) + (7*a^6*(a + b*Sqrt[x]))/(2 + p) - (21*a^5*(a + b*Sqrt[x])^2)/(3 + p) + (35*a^4*(a + b*Sqr
t[x])^3)/(4 + p) - (35*a^3*(a + b*Sqrt[x])^4)/(5 + p) + (21*a^2*(a + b*Sqrt[x])^5)/(6 + p) - (7*a*(a + b*Sqrt[
x])^6)/(7 + p) + (a + b*Sqrt[x])^7/(8 + p))*(a + b*Sqrt[x])^(1 + p))/b^8

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.019, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{x}^{3} \left ( a+b\sqrt{x} \right ) ^{p}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x^3*(a+b*x^(1/2))^p,x)

[Out]

int(x^3*(a+b*x^(1/2))^p,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [A]  time = 1.01773, size = 386, normalized size = 1.89 \begin{align*} \frac{2 \,{\left ({\left (p^{7} + 28 \, p^{6} + 322 \, p^{5} + 1960 \, p^{4} + 6769 \, p^{3} + 13132 \, p^{2} + 13068 \, p + 5040\right )} b^{8} x^{4} +{\left (p^{7} + 21 \, p^{6} + 175 \, p^{5} + 735 \, p^{4} + 1624 \, p^{3} + 1764 \, p^{2} + 720 \, p\right )} a b^{7} x^{\frac{7}{2}} - 7 \,{\left (p^{6} + 15 \, p^{5} + 85 \, p^{4} + 225 \, p^{3} + 274 \, p^{2} + 120 \, p\right )} a^{2} b^{6} x^{3} + 42 \,{\left (p^{5} + 10 \, p^{4} + 35 \, p^{3} + 50 \, p^{2} + 24 \, p\right )} a^{3} b^{5} x^{\frac{5}{2}} - 210 \,{\left (p^{4} + 6 \, p^{3} + 11 \, p^{2} + 6 \, p\right )} a^{4} b^{4} x^{2} + 840 \,{\left (p^{3} + 3 \, p^{2} + 2 \, p\right )} a^{5} b^{3} x^{\frac{3}{2}} - 2520 \,{\left (p^{2} + p\right )} a^{6} b^{2} x + 5040 \, a^{7} b p \sqrt{x} - 5040 \, a^{8}\right )}{\left (b \sqrt{x} + a\right )}^{p}}{{\left (p^{8} + 36 \, p^{7} + 546 \, p^{6} + 4536 \, p^{5} + 22449 \, p^{4} + 67284 \, p^{3} + 118124 \, p^{2} + 109584 \, p + 40320\right )} b^{8}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*(a+b*x^(1/2))^p,x, algorithm="maxima")

[Out]

2*((p^7 + 28*p^6 + 322*p^5 + 1960*p^4 + 6769*p^3 + 13132*p^2 + 13068*p + 5040)*b^8*x^4 + (p^7 + 21*p^6 + 175*p
^5 + 735*p^4 + 1624*p^3 + 1764*p^2 + 720*p)*a*b^7*x^(7/2) - 7*(p^6 + 15*p^5 + 85*p^4 + 225*p^3 + 274*p^2 + 120
*p)*a^2*b^6*x^3 + 42*(p^5 + 10*p^4 + 35*p^3 + 50*p^2 + 24*p)*a^3*b^5*x^(5/2) - 210*(p^4 + 6*p^3 + 11*p^2 + 6*p
)*a^4*b^4*x^2 + 840*(p^3 + 3*p^2 + 2*p)*a^5*b^3*x^(3/2) - 2520*(p^2 + p)*a^6*b^2*x + 5040*a^7*b*p*sqrt(x) - 50
40*a^8)*(b*sqrt(x) + a)^p/((p^8 + 36*p^7 + 546*p^6 + 4536*p^5 + 22449*p^4 + 67284*p^3 + 118124*p^2 + 109584*p
+ 40320)*b^8)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 1.84005, size = 1037, normalized size = 5.08 \begin{align*} -\frac{2 \,{\left (5040 \, a^{8} -{\left (b^{8} p^{7} + 28 \, b^{8} p^{6} + 322 \, b^{8} p^{5} + 1960 \, b^{8} p^{4} + 6769 \, b^{8} p^{3} + 13132 \, b^{8} p^{2} + 13068 \, b^{8} p + 5040 \, b^{8}\right )} x^{4} + 7 \,{\left (a^{2} b^{6} p^{6} + 15 \, a^{2} b^{6} p^{5} + 85 \, a^{2} b^{6} p^{4} + 225 \, a^{2} b^{6} p^{3} + 274 \, a^{2} b^{6} p^{2} + 120 \, a^{2} b^{6} p\right )} x^{3} + 210 \,{\left (a^{4} b^{4} p^{4} + 6 \, a^{4} b^{4} p^{3} + 11 \, a^{4} b^{4} p^{2} + 6 \, a^{4} b^{4} p\right )} x^{2} + 2520 \,{\left (a^{6} b^{2} p^{2} + a^{6} b^{2} p\right )} x -{\left (5040 \, a^{7} b p +{\left (a b^{7} p^{7} + 21 \, a b^{7} p^{6} + 175 \, a b^{7} p^{5} + 735 \, a b^{7} p^{4} + 1624 \, a b^{7} p^{3} + 1764 \, a b^{7} p^{2} + 720 \, a b^{7} p\right )} x^{3} + 42 \,{\left (a^{3} b^{5} p^{5} + 10 \, a^{3} b^{5} p^{4} + 35 \, a^{3} b^{5} p^{3} + 50 \, a^{3} b^{5} p^{2} + 24 \, a^{3} b^{5} p\right )} x^{2} + 840 \,{\left (a^{5} b^{3} p^{3} + 3 \, a^{5} b^{3} p^{2} + 2 \, a^{5} b^{3} p\right )} x\right )} \sqrt{x}\right )}{\left (b \sqrt{x} + a\right )}^{p}}{b^{8} p^{8} + 36 \, b^{8} p^{7} + 546 \, b^{8} p^{6} + 4536 \, b^{8} p^{5} + 22449 \, b^{8} p^{4} + 67284 \, b^{8} p^{3} + 118124 \, b^{8} p^{2} + 109584 \, b^{8} p + 40320 \, b^{8}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*(a+b*x^(1/2))^p,x, algorithm="fricas")

[Out]

-2*(5040*a^8 - (b^8*p^7 + 28*b^8*p^6 + 322*b^8*p^5 + 1960*b^8*p^4 + 6769*b^8*p^3 + 13132*b^8*p^2 + 13068*b^8*p
+ 5040*b^8)*x^4 + 7*(a^2*b^6*p^6 + 15*a^2*b^6*p^5 + 85*a^2*b^6*p^4 + 225*a^2*b^6*p^3 + 274*a^2*b^6*p^2 + 120*
a^2*b^6*p)*x^3 + 210*(a^4*b^4*p^4 + 6*a^4*b^4*p^3 + 11*a^4*b^4*p^2 + 6*a^4*b^4*p)*x^2 + 2520*(a^6*b^2*p^2 + a^
6*b^2*p)*x - (5040*a^7*b*p + (a*b^7*p^7 + 21*a*b^7*p^6 + 175*a*b^7*p^5 + 735*a*b^7*p^4 + 1624*a*b^7*p^3 + 1764
*a*b^7*p^2 + 720*a*b^7*p)*x^3 + 42*(a^3*b^5*p^5 + 10*a^3*b^5*p^4 + 35*a^3*b^5*p^3 + 50*a^3*b^5*p^2 + 24*a^3*b^
5*p)*x^2 + 840*(a^5*b^3*p^3 + 3*a^5*b^3*p^2 + 2*a^5*b^3*p)*x)*sqrt(x))*(b*sqrt(x) + a)^p/(b^8*p^8 + 36*b^8*p^7
+ 546*b^8*p^6 + 4536*b^8*p^5 + 22449*b^8*p^4 + 67284*b^8*p^3 + 118124*b^8*p^2 + 109584*b^8*p + 40320*b^8)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x**3*(a+b*x**(1/2))**p,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.12864, size = 2217, normalized size = 10.87 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*(a+b*x^(1/2))^p,x, algorithm="giac")

[Out]

2*((b*sqrt(x) + a)^8*(b*sqrt(x) + a)^p*p^7 - 7*(b*sqrt(x) + a)^7*(b*sqrt(x) + a)^p*a*p^7 + 21*(b*sqrt(x) + a)^
6*(b*sqrt(x) + a)^p*a^2*p^7 - 35*(b*sqrt(x) + a)^5*(b*sqrt(x) + a)^p*a^3*p^7 + 35*(b*sqrt(x) + a)^4*(b*sqrt(x)
+ a)^p*a^4*p^7 - 21*(b*sqrt(x) + a)^3*(b*sqrt(x) + a)^p*a^5*p^7 + 7*(b*sqrt(x) + a)^2*(b*sqrt(x) + a)^p*a^6*p
^7 - (b*sqrt(x) + a)*(b*sqrt(x) + a)^p*a^7*p^7 + 28*(b*sqrt(x) + a)^8*(b*sqrt(x) + a)^p*p^6 - 203*(b*sqrt(x) +
a)^7*(b*sqrt(x) + a)^p*a*p^6 + 630*(b*sqrt(x) + a)^6*(b*sqrt(x) + a)^p*a^2*p^6 - 1085*(b*sqrt(x) + a)^5*(b*sq
rt(x) + a)^p*a^3*p^6 + 1120*(b*sqrt(x) + a)^4*(b*sqrt(x) + a)^p*a^4*p^6 - 693*(b*sqrt(x) + a)^3*(b*sqrt(x) + a
)^p*a^5*p^6 + 238*(b*sqrt(x) + a)^2*(b*sqrt(x) + a)^p*a^6*p^6 - 35*(b*sqrt(x) + a)*(b*sqrt(x) + a)^p*a^7*p^6 +
322*(b*sqrt(x) + a)^8*(b*sqrt(x) + a)^p*p^5 - 2401*(b*sqrt(x) + a)^7*(b*sqrt(x) + a)^p*a*p^5 + 7686*(b*sqrt(x
) + a)^6*(b*sqrt(x) + a)^p*a^2*p^5 - 13685*(b*sqrt(x) + a)^5*(b*sqrt(x) + a)^p*a^3*p^5 + 14630*(b*sqrt(x) + a)
^4*(b*sqrt(x) + a)^p*a^4*p^5 - 9387*(b*sqrt(x) + a)^3*(b*sqrt(x) + a)^p*a^5*p^5 + 3346*(b*sqrt(x) + a)^2*(b*sq
rt(x) + a)^p*a^6*p^5 - 511*(b*sqrt(x) + a)*(b*sqrt(x) + a)^p*a^7*p^5 + 1960*(b*sqrt(x) + a)^8*(b*sqrt(x) + a)^
p*p^4 - 14945*(b*sqrt(x) + a)^7*(b*sqrt(x) + a)^p*a*p^4 + 49140*(b*sqrt(x) + a)^6*(b*sqrt(x) + a)^p*a^2*p^4 -
90335*(b*sqrt(x) + a)^5*(b*sqrt(x) + a)^p*a^3*p^4 + 100240*(b*sqrt(x) + a)^4*(b*sqrt(x) + a)^p*a^4*p^4 - 67095
*(b*sqrt(x) + a)^3*(b*sqrt(x) + a)^p*a^5*p^4 + 25060*(b*sqrt(x) + a)^2*(b*sqrt(x) + a)^p*a^6*p^4 - 4025*(b*sqr
t(x) + a)*(b*sqrt(x) + a)^p*a^7*p^4 + 6769*(b*sqrt(x) + a)^8*(b*sqrt(x) + a)^p*p^3 - 52528*(b*sqrt(x) + a)^7*(
b*sqrt(x) + a)^p*a*p^3 + 176589*(b*sqrt(x) + a)^6*(b*sqrt(x) + a)^p*a^2*p^3 - 334040*(b*sqrt(x) + a)^5*(b*sqrt
(x) + a)^p*a^3*p^3 + 384755*(b*sqrt(x) + a)^4*(b*sqrt(x) + a)^p*a^4*p^3 - 270144*(b*sqrt(x) + a)^3*(b*sqrt(x)
+ a)^p*a^5*p^3 + 107023*(b*sqrt(x) + a)^2*(b*sqrt(x) + a)^p*a^6*p^3 - 18424*(b*sqrt(x) + a)*(b*sqrt(x) + a)^p*
a^7*p^3 + 13132*(b*sqrt(x) + a)^8*(b*sqrt(x) + a)^p*p^2 - 103292*(b*sqrt(x) + a)^7*(b*sqrt(x) + a)^p*a*p^2 + 3
53430*(b*sqrt(x) + a)^6*(b*sqrt(x) + a)^p*a^2*p^2 - 684740*(b*sqrt(x) + a)^5*(b*sqrt(x) + a)^p*a^3*p^2 + 81592
0*(b*sqrt(x) + a)^4*(b*sqrt(x) + a)^p*a^4*p^2 - 602532*(b*sqrt(x) + a)^3*(b*sqrt(x) + a)^p*a^5*p^2 + 256942*(b
*sqrt(x) + a)^2*(b*sqrt(x) + a)^p*a^6*p^2 - 48860*(b*sqrt(x) + a)*(b*sqrt(x) + a)^p*a^7*p^2 + 13068*(b*sqrt(x)
+ a)^8*(b*sqrt(x) + a)^p*p - 103824*(b*sqrt(x) + a)^7*(b*sqrt(x) + a)^p*a*p + 360024*(b*sqrt(x) + a)^6*(b*sqr
t(x) + a)^p*a^2*p - 710640*(b*sqrt(x) + a)^5*(b*sqrt(x) + a)^p*a^3*p + 870660*(b*sqrt(x) + a)^4*(b*sqrt(x) + a
)^p*a^4*p - 673008*(b*sqrt(x) + a)^3*(b*sqrt(x) + a)^p*a^5*p + 312984*(b*sqrt(x) + a)^2*(b*sqrt(x) + a)^p*a^6*
p - 69264*(b*sqrt(x) + a)*(b*sqrt(x) + a)^p*a^7*p + 5040*(b*sqrt(x) + a)^8*(b*sqrt(x) + a)^p - 40320*(b*sqrt(x
) + a)^7*(b*sqrt(x) + a)^p*a + 141120*(b*sqrt(x) + a)^6*(b*sqrt(x) + a)^p*a^2 - 282240*(b*sqrt(x) + a)^5*(b*sq
rt(x) + a)^p*a^3 + 352800*(b*sqrt(x) + a)^4*(b*sqrt(x) + a)^p*a^4 - 282240*(b*sqrt(x) + a)^3*(b*sqrt(x) + a)^p
*a^5 + 141120*(b*sqrt(x) + a)^2*(b*sqrt(x) + a)^p*a^6 - 40320*(b*sqrt(x) + a)*(b*sqrt(x) + a)^p*a^7)/((b^6*p^8
+ 36*b^6*p^7 + 546*b^6*p^6 + 4536*b^6*p^5 + 22449*b^6*p^4 + 67284*b^6*p^3 + 118124*b^6*p^2 + 109584*b^6*p + 4
0320*b^6)*b^2)